交換可能性¶

状態 p: I → X^{⊗n} は、因子の置換で変わらないとき交換可能です。隣接互換は対称群を生成するので、それを調べれば足ります。位置 k （1 始まり）で交換可能とは

p ; (id^{⊗(k-1)} ⊗ swap(X, X) ⊗ id^{⊗(n-k-1)}) = p

が成り立つことです。k 番目と (k+1) 番目の紐を入れ替えても p は変わりません。恒等の紐と入れ替える2本で、因子の数は (k-1) + 2 + (n-k-1) = n です。

隣接する swap を合成しても p は変わらない — 図は上から下に読む。左は `p ; (id^{⊗(k-1)} ⊗ swap(X, X) ⊗ id^{⊗(n-k-1)})`、右は `p`。交差は `k` 番目と `(k+1)` 番目の紐の入れ替え。¶

is_exchangeable() は k = 1 .. n-1 を調べ、numpy.allclose で data を比べます。swap はラベルを持たないので、ラベルは比較しません。atol と rtol の既定値は FXTensor._ATOL と FXTensor._RTOL です。n < 2 は自明に真です。

block は因子 X 一つの次元リストです。既定の None では codomain の軸が1つずつ因子になり、軸のサイズはすべて同じでなければなりません。サイズの違う軸が混ざると ValueError です。受け手は状態（空の domain）です。

対称化¶

symmetrize() は、n 個の因子のあらゆる置換で平均を取ります。プロファイルとラベルはそのままで、同じ block に対して is_exchangeable を満たします。もう一度平均しても変わらず、もともと交換可能な状態も変わりません。n > 8 では n! 個の置換をたどるため警告します。

Kolmogorov 整合性¶

列 p_n: I → X^{⊗n} が Kolmogorov 整合的であるとは、n 番目の紐を破棄すると一つ前の状態に戻ることです。

p_n ; (id^{⊗(n-1)} ⊗ !) = p_{n-1}

p_n の n 番目の紐を破棄すると p_{n-1} になる — 図は上から下に読む。左は `p_n ; (id^{⊗(n-1)} ⊗ !)`。黒丸は `n` 番目の紐の discard。右は `p_{n-1}`。¶

is_kolmogorov_consistent() は [p_1, p_2, ..., p_N] を受け取ります。states[0] が p_1 です。 ! は X 上の exclamation() です。長さ 0 または 1 の列には比べる組がありません。ただし要素が1つあるときは、それが状態 I → X でなければなりません。block は is_exchangeable と同じです。値は data で比べます。周辺が食い違う列は False です。その位置の I → X^{⊗n} になっていない状態は ValueError です。

i.i.d. と混合¶

iid() は p を n 個テンソル積したものです。ラベルは p から引き継ぎます。状態 I → X なら結果は I → X^{⊗n} です。

mixture_of_iid() は、状態 prior: I → Θ と核 Θ → X から prior ; copy_Θ^{(n)} ; kernel^{⊗n} を作ります。事前分布から 1 回引き、それを複製して、核の独立な n 個のコピーに渡します。できた状態 I → X^{⊗n} は交換可能で、n を変えた列は Kolmogorov 整合的です。独立になるのは、事前分布が一点に集中しているときだけです。

コインのバイアスに事前分布を置くと、投げた結果の列は交換可能です。その事前分布が Dirac でなければ、投げは独立ではありません。

import numpy as np
from fxtensor_salmon import FXTensor

bias = ["fair", "heads"]
side = ["H", "T"]
prior = FXTensor([[], [bias]], data=np.array([0.5, 0.5]))
kernel = FXTensor(
    [[bias], [side]],
    data=np.array([
        [0.5, 0.5],  # fair
        [0.9, 0.1],  # heads
    ]),
)
flips = FXTensor.mixture_of_iid(prior, kernel, 3)
assert flips.labels == (None, [side, side, side])
assert flips.is_exchangeable()
sequence = [FXTensor.mixture_of_iid(prior, kernel, n) for n in range(1, 5)]
assert FXTensor.is_kolmogorov_consistent(sequence)
# The two-flip marginal is not the product of its one-flip marginals.
pair = flips.marginalization(3)
assert not pair.is_independent(2)

point = FXTensor([[], [bias]], data=np.array([0.0, 1.0]))
fixed = FXTensor.mixture_of_iid(point, kernel, 3)
assert fixed.is_exchangeable()
assert fixed.is_independent(2)
assert fixed == FXTensor.iid(FXTensor([[], [side]], data=np.array([0.9, 0.1])), 3)

マルコフ圏での de Finetti の定理の有限形は、Fritz, Gonda, Perrone, De Finetti's theorem in categorical probability (arXiv:2105.02639) にあります。単射に沿った交換可能性と、挿入に沿った Kolmogorov 整合性は、Vaccarino, Statistical models as natural transformations (arXiv:2609.22929) では統計モデルの整合性として現れます。